Упр.32.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 2cos^2(x)+5/4sin^2(2x)+sin^4(x)+cos(2x)=0;
2) sin^3(x)=sin(x)+cos(x).

1. $$2\cos^2 x+\frac54\sin^2 2x+\sin^4 x+\cos 2x=0.$$

   Используем формулы $$\sin^2 2x=4\sin^2 x\cos^2 x$$ и $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

   $$ 2\cos^2 x+5\sin^2 x\cos^2 x+\sin^4 x+\cos^2 x-\sin^2 x=0. $$

   Преобразуем:

   $$ 5\sin^2 x\cos^2 x+\sin^4 x=\sin^4 x-2\sin^2 x\cos^2 x-3\cos^4 x, $$

   тогда

   $$ 3\cos^4 x+7\sin^2 x\cos^2 x=0. $$

   Вынесем общий множитель:

   $$ \cos^2 x\,(3\cos^2 x+7\sin^2 x)=0. $$

   Отсюда $$\cos x=0$$, так как выражение $$3\cos^2 x+7\sin^2 x$$ неотрицательно и равно нулю только при $$\sin x=\cos x=0$$, что невозможно.

   Значит,
   $$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2. $$\sin^3 x=\sin x+\cos x.$$

   Перенесём всё в одну сторону и вынесем $$\sin x$$:

   $$ \sin x(\sin^2 x-1)=\cos x. $$

   Так как $$\sin^2 x-1=-\cos^2 x$$, получаем:

   $$ -\sin x\cos^2 x=\cos x, $$

   или
   $$ \cos x\,(1+\sin x\cos x)=0. $$

   Используем формулу $$\sin x\cos x=\frac12\sin 2x$$:

   $$ \cos x\left(1+\frac12\sin 2x\right)=0. $$

   Но $$\left|\frac12\sin 2x\right|\le \frac12$$, значит
   $$ 1+\frac12\sin 2x\ne 0. $$

   Следовательно,
   $$ \cos x=0, $$
   откуда
   $$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$