Упр.32.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) tg^3(x)+tg^2(x)+ctg^2(x)+ctg^3(x)=4;
2) 4sin^2(x)+1/sin^2(x)+4sin(x)+2/sin(x)=11.

1. Пусть $$y=\tg x+\ctg x.$$ Тогда

   $$ \tg^3 x+\tg^2 x+\ctg^2 x+\ctg^3 x=4 $$
   $$ (\tg^3 x+\ctg^3 x)+(\tg^2 x+\ctg^2 x)-4=0 $$
   $$ (\tg x+\ctg x)(\tg^2 x-\tg x\ctg x+\ctg^2 x)+(\tg x+\ctg x)^2-6=0 $$
   $$ y(y^2-3)+y^2-6=0 $$
   $$ y^3+y^2-3y-6=0 $$
   $$ (y-2)(y^2+3y+3)=0. $$

   Так как $$D=3^2-4\cdot 3=9-12<0,$$ то действительное значение имеет только $$y=2.$$

   Возвращаемся к замене:

   $$ \tg x+\ctg x=2 $$
   $$ \tg x+\frac{1}{\tg x}=2 $$
   $$ \tg^2 x-2\tg x+1=0 $$
   $$ (\tg x-1)^2=0. $$

   Следовательно, $$\tg x=1,$$ откуда

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. Пусть $$y=2\sin x+\frac{1}{\sin x}.$$ Тогда

   $$ 4\sin^2 x+\frac{1}{\sin^2 x}+4\sin x+\frac{2}{\sin x}=11 $$
   $$ \left(4\sin^2 x+\frac{1}{\sin^2 x}\right)+2\left(2\sin x+\frac{1}{\sin x}\right)=11 $$
   $$ y^2+2y-11=0. $$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$ D=2^2-4\cdot 1\cdot(-11)=4+44=48, $$
   $$ y_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{48}}{2}=-1\pm 2\sqrt{3}. $$

   Теперь решаем уравнения:

   $$ 2\sin x+\frac{1}{\sin x}=-1+2\sqrt{3} $$
   $$ 2\sin^2 x-(-1+2\sqrt{3})\sin x+1=0, $$

   $$ 2\sin x+\frac{1}{\sin x}=-1-2\sqrt{3} $$
   $$ 2\sin^2 x-(-1-2\sqrt{3})\sin x+1=0. $$

   Проверяем, что получающиеся значения $$\sin x$$ должны удовлетворять условию $$|\sin x|\le 1.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x$$ — решения уравнений $$2\sin x+\frac{1}{\sin x}=-1\pm 2\sqrt{3}$$ при $$|\sin x|\le 1.$$