Упр.32.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\operatorname{tg}^4(x)+\operatorname{ctg}^4(x)+\operatorname{tg}^2(x)+\operatorname{ctg}^2(x)=4$$;
2. $$18\cos^2(x)+5\left(3\cos(x)+\cos^{-1}(x)\right)+2\cos^{-2}(x)+5=0$$.

1) Обозначим $$y=\tg^2 x+\ctg^2 x.$$ Тогда

$$\tg^4 x+\ctg^4 x+\tg^2 x+\ctg^2 x=4$$

можно переписать так:

$$\left(\tg^2 x+\ctg^2 x\right)^2-2\tg^2 x\ctg^2 x+\tg^2 x+\ctg^2 x=4.$$

Так как $$\tg^2 x\ctg^2 x=1,$$ получаем

$$y^2-2+y=4,$$

$$y^2+y-6=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=1+24=25,$$

$$y_1=\frac{-1-5}{2}=-3,\qquad y_2=\frac{-1+5}{2}=2.$$

Так как $$\tg^2 x+\ctg^2 x\ge 2,$$ значение $$y=-3$$ не подходит. Тогда

$$\tg^2 x+\ctg^2 x=2.$$

Пусть $$t=\tg^2 x.$$ Тогда $$\ctg^2 x=\frac{1}{t},$$ и

$$t+\frac{1}{t}=2.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-2t+1=0,$$

$$\left(t-1\right)^2=0,$$

$$t=1.$$

Значит,

$$\tg^2 x=1,$$

откуда

$$\tg x=\pm 1.$$

Следовательно,

$$x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

2) Обозначим $$y=3\cos x+\frac{1}{\cos x}.$$ Тогда

$$18\cos^2 x+5\left(3\cos x+\cos^{-1}x\right)+2\cos^{-2}x+5=0$$

преобразуется к виду

$$5y+2\left(9\cos^2 x+\frac{1}{\cos^2 x}\right)+5=0.$$

Так как

$$y^2=9\cos^2 x+6+\frac{1}{\cos^2 x},$$

то

$$9\cos^2 x+\frac{1}{\cos^2 x}=y^2-6.$$

Получаем уравнение

$$5y+2\left(y^2-6\right)+5=0,$$

$$2y^2+5y-7=0.$$

Решаем:

$$D=25+56=81,$$

$$y_1=\frac{-5-9}{4}=-\frac{7}{2},\qquad y_2=\frac{-5+9}{4}=1.$$

1-й случай: $$3\cos x+\frac{1}{\cos x}=-\frac{7}{2}.$$

Умножим на $$2\cos x$$:

$$6\cos^2 x+7\cos x+2=0.$$

$$D=49-48=1,$$

$$\cos x=\frac{-7\pm 1}{12}.$$

Отсюда

$$\cos x=-\frac{1}{2}\quad \text{или}\quad \cos x=-\frac{2}{3}.$$

Значит,

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad x=\pm \arccos\!\left(-\frac{2}{3}\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2-й случай: $$3\cos x+\frac{1}{\cos x}=1.$$

Умножим на $$\cos x$$:

$$3\cos^2 x-\cos x+1=0.$$

$$D=1-12=-11<0,$$

поэтому действительных решений нет.

Ответ:

$$1)\; x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z};$$

$$2)\; x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; x=\pm \arccos\!\left(-\frac{2}{3}\right)+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$