Упр.32.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) sin^4(x)+sin^4(x+?/4)=1/4;
2) sin^4(x)+sin^4(x+?/4)+sin^4(x-?/4)=0,5.

Подробный ответ

$$\sin^4 x+\sin^4\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac14.$$
Используем формулу $$\sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}$$:
$$ \left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)^2+ \left(\frac{1-\cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)}{2}\right)^2=\frac14. $$
Так как $$\cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin 2x,$$ получаем
$$ \frac{(1-\cos 2x)^2}{4}+\frac{(1+\sin 2x)^2}{4}=\frac14. $$
Умножим на $$4$$:
$$ (1-\cos 2x)^2+(1+\sin 2x)^2=1. $$
Раскроем скобки:
$$ 1-2\cos 2x+\cos^2 2x+1+2\sin 2x+\sin^2 2x=1. $$
$$ \cos^2 2x+\sin^2 2x-2\cos 2x+2\sin 2x+1=0. $$
Так как $$\cos^2 2x+\sin^2 2x=1,$$ имеем
$$ 2\sin 2x-2\cos 2x+2=0, $$
$$ \sin 2x-\cos 2x+1=0. $$
Преобразуем:
$$ 2\sin x\cos x-(\cos^2 x-\sin^2 x)+\sin^2 x+\cos^2 x=0, $$
$$ 2\sin x\cos x+2\sin^2 x=0, $$
$$ \sin x(\cos x+\sin x)=0. $$
Отсюда:
$$ \sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x+\sin x=0. $$
$$ x=\pi n \quad \text{или} \quad \tg x=-1, $$
$$ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
$$\sin^4 x+\sin^4\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\sin^4\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac12.$$
Снова используем формулу $$\sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}$$:
$$ \frac{(1-\cos 2x)^2}{4}+ \frac{\left(1-\cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)\right)^2}{4}+ \frac{\left(1-\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)\right)^2}{4} =\frac12. $$
Так как $$\cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin 2x,$$ $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin 2x,$$ получаем
$$ \frac{(1-\cos 2x)^2}{4}+\frac{(1+\sin 2x)^2}{4}+\frac{(1-\sin 2x)^2}{4}=\frac12. $$
Умножим на $$4$$:
$$ (1-\cos 2x)^2+(1+\sin 2x)^2+(1-\sin 2x)^2=2. $$
Раскроем скобки:
$$ 1-2\cos 2x+\cos^2 2x+1+2\sin 2x+\sin^2 2x+1-2\sin 2x+\sin^2 2x=2. $$
$$ 3-2\cos 2x+\cos^2 2x+2\sin^2 2x=2. $$
Используем $$\cos^2 2x=1-\sin^2 2x$$:
$$ 3-2\cos 2x+1-\sin^2 2x+2\sin^2 2x=2, $$
$$ 4-2\cos 2x+\sin^2 2x=2. $$
$$ \sin^2 2x=2\cos 2x-2. $$
Подставим $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$ и $$\sin^2 2x=4\sin^2 x\cos^2 x$$:
$$ 4\sin^2 x\cos^2 x=2(1-2\sin^2 x)-2=-4\sin^2 x. $$
$$ 4\sin^2 x(\cos^2 x+1)=0. $$
Следовательно,
$$ \sin x=0, $$
$$ x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$