Упр.32.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 3sin(x)+5cos(x)=-3;
2) 3v3sin(x)-5cos(x)=7.

1) Решим уравнение $$3\sin x+5\cos x=-3.$$

Положим $$t=\tg \frac{x}{2}.$$ Тогда

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.$$

Подставим в уравнение:

$$3\cdot \frac{2t}{1+t^2}+5\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}=-3.$$

Умножим на $$1+t^2$$:

$$6t+5-5t^2=-3-3t^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2t^2-6t-8=0.$$

Разделим на $$2$$:

$$t^2-3t-4=0.$$

Тогда

$$t_1=-1,\qquad t_2=4.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$\tg \frac{x}{2}=-1 \Rightarrow \frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$\tg \frac{x}{2}=4 \Rightarrow \frac{x}{2}=\arctg 4+\pi n \Rightarrow x=2\arctg 4+2\pi n.$$

2) Решим уравнение $$3\sqrt{3}\sin x-5\cos x=7.$$

Положим $$t=\tg \frac{x}{2}.$$ Тогда

$$3\sqrt{3}\cdot \frac{2t}{1+t^2}-5\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}=7.$$

Умножим на $$1+t^2$$:

$$6\sqrt{3}\,t-5+5t^2=7+7t^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2t^2-6\sqrt{3}\,t+12=0.$$

Найдём корни:

$$D=(6\sqrt{3})^2-4\cdot 2\cdot 12=108-96=12.$$

Тогда

$$t_{1,2}=\frac{6\sqrt{3}\pm \sqrt{12}}{4}=\frac{6\sqrt{3}\pm 2\sqrt{3}}{4}.$$

Отсюда

$$t_1=\sqrt{3},\qquad t_2=2\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$\tg \frac{x}{2}=\sqrt{3} \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{3}+\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$\tg \frac{x}{2}=2\sqrt{3} \Rightarrow \frac{x}{2}=\arctg(2\sqrt{3})+\pi n \Rightarrow x=2\arctg(2\sqrt{3})+2\pi n.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=2\arctg 4+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

2) $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; x=2\arctg(2\sqrt{3})+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$