Упр.32.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 3sin(x)-8cos(x)=3;
2) 2sin(x)-5cos(x)=3.

1. Решим уравнение $$3\sin x-8\cos x=3.$$

   Положим $$t=\tg\frac{x}{2}.$$ Тогда

   $$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.$$

   Подставим в уравнение:

   $$ 3\cdot \frac{2t}{1+t^2}-8\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}=3. $$

   Умножим на $$1+t^2$$:

   $$ 6t-8+8t^2=3+3t^2. $$

   $$ 5t^2+6t-11=0. $$

   Найдём корни:

   $$ D=6^2-4\cdot 5\cdot(-11)=36+220=256. $$

   $$ t_{1,2}=\frac{-6\pm 16}{2\cdot 5}. $$

   $$ t_1=-\frac{11}{5}, \qquad t_2=1. $$

   Тогда

   $$ \tg\frac{x}{2}=-\frac{11}{5} \quad \text{или} \quad \tg\frac{x}{2}=1. $$

   Отсюда

   $$ \frac{x}{2}=-\arctg\frac{11}{5}+\pi n \quad \text{или} \quad \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

   $$ x=-2\arctg\frac{11}{5}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n. $$

2. Решим уравнение $$2\sin x-5\cos x=3.$$

   Пусть снова $$t=\tg\frac{x}{2}.$$ Тогда

   $$ 2\cdot \frac{2t}{1+t^2}-5\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}=3. $$

   Умножим на $$1+t^2$$:

   $$ 4t-5+5t^2=3+3t^2. $$

   $$ 2t^2+4t-8=0. $$

   Найдём корни:

   $$ D=4^2-4\cdot 2\cdot(-8)=16+64=80. $$

   $$ t_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{80}}{2\cdot 2}=\frac{-4\pm 4\sqrt5}{4}=-1\pm \sqrt5. $$

   Следовательно,

   $$ \tg\frac{x}{2}=-1+\sqrt5 \quad \text{или} \quad \tg\frac{x}{2}=-1-\sqrt5. $$

   Тогда

   $$ \frac{x}{2}=\arctg(-1+\sqrt5)+\pi n \quad \text{или} \quad \frac{x}{2}=\arctg(-1-\sqrt5)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

   Так как $$\arctg(-1-\sqrt5)=-\arctg(1+\sqrt5),$$ получаем

   $$ x=2\arctg(-1+\sqrt5)+2\pi n \quad \text{или} \quad x=2\arctg(-1-\sqrt5)+2\pi n. $$

Ответ

1) $$x=-2\arctg\frac{11}{5}+2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=2\arctg(-1+\sqrt5)+2\pi n,\ 2\arctg(-1-\sqrt5)+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$