Упр.32.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 32.12. Решите уравнение sin(x/2)sin(3/2 x)+cos^2(x/2)=1/4.

Подробный ответ

Используем формулы преобразования произведения и двойного угла:

$$ \sin \frac{x}{2}\sin \frac{3x}{2}=\frac{1}{2}\left(\cos x-\cos 2x\right), \qquad \cos^2 \frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}. $$

Тогда исходное уравнение принимает вид:

$$ \frac{1}{2}\left(\cos x-\cos 2x\right)+\frac{1+\cos x}{2}=\frac{1}{4}. $$

Упростим:

$$ \frac{1}{2}\cos x-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos x=\frac{1}{4}, $$
$$ \cos x-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}= \frac{1}{4}. $$

Перенесём всё в одну сторону и выразим через $$\cos x$$:

$$ \cos x-\frac{1}{2}(2\cos^2 x-1)+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=0, $$
$$ \cos x-\cos^2 x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=0, $$
$$ \cos^2 x-\cos x-\frac{3}{4}=0. $$

Умножим на $$4$$:

$$ 4\cos^2 x-4\cos x-3=0. $$

Решим квадратное уравнение относительно $$\cos x$$:

$$ D=(-4)^2-4\cdot 4\cdot(-3)=16+48=64, $$
$$ \cos x=\frac{4\pm 8}{8}. $$

Получаем:

$$ \cos x_1=-\frac{1}{2}, \qquad \cos x_2=\frac{3}{2}. $$

Значение $$\cos x=\frac{3}{2}$$ невозможно, так как $$|\cos x|\le 1$$. Значит, остаётся:

$$ \cos x=-\frac{1}{2}. $$

Отсюда:

$$ x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}. $$