Упр.32.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin^2(2x)-1/4=cos(2x)cos(6x);
2) 2sin(x)cos(3x)=cos^2(4x)-sin(2x)+1.

1) Преобразуем правую часть по формуле произведения в сумму:

$$\sin^2 2x-\frac14=\cos 2x\cos 6x$$

$$\cos 2x\cos 6x=\frac12(\cos 8x+\cos 4x)$$

Тогда

$$\sin^2 2x-\frac14=\frac12(\cos 8x+\cos 4x).$$

Используем формулу $$\sin^2 2x=\frac{1-\cos 4x}{2}$$ и формулу $$\cos 8x=2\cos^2 4x-1$$:

$$\frac{1-\cos 4x}{2}-\frac14=\frac12(2\cos^2 4x-1)+\frac12\cos 4x$$

$$\frac14-\cos 4x=\cos^2 4x-\frac12$$

$$\cos^2 4x+\cos 4x-\frac34=0.$$

Обозначим $$t=\cos 4x$$. Тогда

$$t^2+t-\frac34=0$$

$$4t^2+4t-3=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=4^2-4\cdot 4\cdot(-3)=16+48=64,$$

$$t=\frac{-4\pm 8}{8}.$$

Получаем:

$$t_1=\frac12,\qquad t_2=-\frac32.$$

Значение $$t_2=-\frac32$$ не подходит, так как $$\cos 4x\in[-1;1].$$

Значит,

$$\cos 4x=\frac12.$$

Тогда

$$4x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\pm \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Преобразуем левую часть:

$$2\sin x\cos 3x=\sin 4x-\sin 2x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\sin 4x-\sin 2x=\cos^2 4x-\sin 2x+1.$$

Сокращаем $$-\sin 2x$$:

$$\sin 4x=\cos^2 4x+1.$$

Так как $$\cos^2 4x=1-\sin^2 4x,$$ получаем

$$\sin 4x=2-\sin^2 4x.$$

Переносим всё в одну сторону:

$$\sin^2 4x+\sin 4x-2=0.$$

Обозначим $$t=\sin 4x$$. Тогда

$$t^2+t-2=0$$

$$ (t-1)(t+2)=0.$$

Отсюда

$$t_1=1,\qquad t_2=-2.$$

Значение $$t_2=-2$$ не подходит, так как $$\sin 4x\in[-1;1].$$

Значит,

$$\sin 4x=1.$$

Тогда

$$4x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pm \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$