Упр.32.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) 4ctg(x)-5sin(x)=0;
2) 4sin^2(2x)+7cos(2x)-2sin^2(x)=6;
3) 7+2sin(2x)+1,5(tg(x)+ctg(x))=0;
4) 2cos(4x)-2cos^2(x)=3cos(2x).

Подробный ответ

$$4\ctg x-5\sin x=0$$
$$4\frac{\cos x}{\sin x}-5\sin x=0$$
Умножим на $$\sin x$$, учитывая, что $$\sin x\neq 0$$:
$$4\cos x-5\sin^2 x=0$$
$$4\cos x-5(1-\cos^2 x)=0$$
$$5\cos^2 x+4\cos x-5=0$$
$$D=4^2+4\cdot 5\cdot 5=116$$
$$\cos x=\frac{-4\pm\sqrt{116}}{2\cdot 5}=\frac{-2\pm\sqrt{29}}{5}$$
Значение $$\frac{-2-\sqrt{29}}{5}<-1$$ не подходит, поэтому
$$\cos x=\frac{\sqrt{29}-2}{5}$$
$$x=\pm \arccos\frac{\sqrt{29}-2}{5}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$4\sin^2 2x+7\cos 2x-2\sin^2 x=6$$
$$4(1-\cos^2 2x)+7\cos 2x-2\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}=6$$
$$4-4\cos^2 2x+7\cos 2x-1+\cos 2x=6$$
$$4\cos^2 2x-8\cos 2x+3=0$$
$$D=64-48=16$$
$$\cos 2x=\frac{8\pm 4}{8}$$
$$\cos 2x=\frac{3}{2}\quad \text{или}\quad \cos 2x=\frac{1}{2}$$
Значение $$\frac{3}{2}$$ не подходит, поэтому
$$\cos 2x=\frac{1}{2}$$
$$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n$$
$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$7+2\sin 2x+1{,}5(\tg x+\ctg x)=0$$
$$\tg x+\ctg x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}$$
Тогда
$$7+2\sin 2x+\frac{3}{\sin 2x}=0$$
Умножим на $$\sin 2x$$:
$$2\sin^2 2x+7\sin 2x+3=0$$
$$D=49-24=25$$
$$\sin 2x=\frac{-7\pm 5}{4}$$
$$\sin 2x=-3\quad \text{или}\quad \sin 2x=-\frac{1}{2}$$
Значение $$-3$$ не подходит, поэтому
$$\sin 2x=-\frac{1}{2}$$
$$2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n$$
$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$
$$2\cos 4x-2\cos^2 x=3\cos 2x$$
$$2(2\cos^2 2x-1)-2\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}=3\cos 2x$$
$$4\cos^2 2x-2-1-\cos 2x=3\cos 2x$$
$$4\cos^2 2x-4\cos 2x-3=0$$
$$D=16+48=64$$
$$\cos 2x=\frac{4\pm 8}{8}$$
$$\cos 2x=-\frac{1}{2}\quad \text{или}\quad \cos 2x=\frac{3}{2}$$
Значение $$\frac{3}{2}$$ не подходит, поэтому
$$\cos 2x=-\frac{1}{2}$$
$$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$
$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$