Упр.32.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v3sin(x)+cos(x)=0; 3) sin^2(x)-5sin(x)cos(x)+4cos^2(x)=0;
2) 4cos(2x)-sin(2x)=0; 4) 3sin^2(x)-2v3sin(x)cos(x)+cos^2(x)=0.

1) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=0$$

$$\cos x\ne 0,$$ тогда разделим уравнение на $$\cos x$$:

$$\sqrt{3}\tg x+1=0,$$

$$\tg x=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Отсюда

$$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2) $$4\cos 2x-\sin 2x=0$$

$$\cos 2x\ne 0,$$ тогда разделим на $$\cos 2x$$:

$$4-\tg 2x=0,$$

$$\tg 2x=4.$$

Следовательно,

$$2x=\arctg 4+\pi n,$$

$$x=\frac{1}{2}\arctg 4+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3) $$\sin^2 x-5\sin x\cos x+4\cos^2 x=0$$

$$\cos^2 x\ne 0,$$ тогда разделим на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x-5\tg x+4=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9,$$

$$\tg x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}.$$

Получаем:

$$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=4.$$

Значит,

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 4+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4) $$3\sin^2 x-2\sqrt{3}\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$

$$\cos^2 x\ne 0,$$ тогда разделим на $$\cos^2 x$$:

$$3\tg^2 x-2\sqrt{3}\tg x+1=0.$$

Заметим, что

$$\left(\sqrt{3}\tg x-1\right)^2=0,$$

откуда

$$\sqrt{3}\tg x-1=0,$$

$$\tg x=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$

2) $$x=\frac{1}{2}\arctg 4+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z};$$

3) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$ или $$x=\arctg 4+\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$

4) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$