Упр.32.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\sqrt{3}\sin(x)+\cos(x)=0$$;
2. $$\sin^2(x)-5\sin(x)\cos(x)+4\cos^2(x)=0$$;
3. $$4\cos(2x)-\sin(2x)=0$$;
4. $$3\sin^2(x)-2\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)+\cos^2(x)=0$$.

1) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=0$$

$$\cos x\ne 0,\qquad \sqrt{3}\tg x+1=0$$

$$\tg x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

$$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

2) $$4\cos 2x-\sin 2x=0$$

$$\cos 2x\ne 0,\qquad 4-\tg 2x=0$$

$$\tg 2x=4$$

$$2x=\arctg 4+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

$$x=\frac{1}{2}\arctg 4+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}$$

3) $$\sin^2 x-5\sin x\cos x+4\cos^2 x=0$$

$$\cos^2 x\ne 0,\qquad \tg^2 x-5\tg x+4=0$$

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9$$

$$\tg x_1=\frac{5-3}{2}=1,\qquad \tg x_2=\frac{5+3}{2}=4$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

$$x=\arctg 4+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

4) $$3\sin^2 x-2\sqrt{3}\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$

$$\cos^2 x\ne 0,\qquad 3\tg^2 x-2\sqrt{3}\tg x+1=0$$

$$\left(\sqrt{3}\tg x-1\right)^2=0$$

$$\tg x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

2) $$x=\frac{1}{2}\arctg 4+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}$$

3) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z};\quad x=\arctg 4+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

4) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$