Упр.31.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=arcctg(x)+4; 2) y=v(-arctg(x)).

1. Для функции $$y=\operatorname{arcctg}x+4$$ известно, что
   $$0<\operatorname{arcctg}x<\pi.$$
   Прибавим 4 ко всем частям неравенства:
   $$ 4<\operatorname{arcctg}x+4<\pi+4. $$
   Значит, область значений функции:
   $$ (4;\,\pi+4). $$
2. Для функции $$y=\sqrt{-\arctg x}$$ учитываем, что
   $$ -\frac{\pi}{2}<\arctg x<\frac{\pi}{2}. $$
   Тогда
   $$ -\frac{\pi}{2}<-\arctg x<\frac{\pi}{2}. $$
   Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, получаем
   $$ 0\le -\arctg x<\frac{\pi}{2}. $$
   Извлекая квадратный корень, имеем
   $$ 0\le \sqrt{-\arctg x}<\sqrt{\frac{\pi}{2}}. $$
   Следовательно, область значений:
   $$ \left[0;\,\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right). $$

Ответ

1) $$\left(4;\,\pi+4\right).$$ 2) $$\left[0;\,\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right).$$