Упр.31.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=arctg(x)+2; 2) y=varctg(x).

1) Для функции $$y=\arctg x+2$$ известно, что

$$-\frac{\pi}{2}<\arctg x<\frac{\pi}{2}.$$

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$$2-\frac{\pi}{2}<\arctg x+2<2+\frac{\pi}{2}.$$

Значит, область значений функции:

$$\left(2-\frac{\pi}{2};\ 2+\frac{\pi}{2}\right).$$

2) Для функции $$y=\sqrt{\arctg x}$$ нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$\arctg x\ge 0.$$

Так как $$-\frac{\pi}{2}<\arctg x<\frac{\pi}{2},$$ то

$$0\le \sqrt{\arctg x}<\sqrt{\frac{\pi}{2}}.$$

Следовательно, область значений функции:

$$\left[0;\ \sqrt{\frac{\pi}{2}}\right).$$

Ответ

1) $$\left(2-\frac{\pi}{2};\ 2+\frac{\pi}{2}\right)$$

2) $$\left[0;\ \sqrt{\frac{\pi}{2}}\right)$$