Упр.31.47 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 31.47. Решите уравнение arcsin(x)+arcsin(x/2)=?/2.

Пусть

$$\arcsin x+\arcsin \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}.$$

Тогда

$$\arcsin x=\frac{\pi}{2}-\arcsin \frac{x}{2}.$$

Применим синус к обеим частям:

$$\sin(\arcsin x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin \frac{x}{2}\right).$$

Получаем

$$x=\cos\left(\arcsin \frac{x}{2}\right).$$

Так как

$$\cos(\arcsin t)=\sqrt{1-t^2},$$

то

$$x=\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2=1-\frac{x^2}{4}.$$

$$\frac{5x^2}{4}=1,$$

$$x^2=\frac{4}{5},$$

$$x=\pm \frac{2}{\sqrt5}.$$

Проверим знак. Левая часть уравнения равна $\frac{\pi}{2}$, значит обе арксинусные функции неотрицательны, поэтому $x>0$. Следовательно, подходит только

$$x=\frac{2}{\sqrt5}.$$

Ответ

$$\frac{2}{\sqrt5}$$