Упр.31.46 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 31.46. Решите уравнение arcsin(2x)+arcsin(x)=?/3.

ОДЗ: $$-1 \le x \le \frac12,$$ так как должны существовать выражения $$\arcsin(2x)$$ и $$\arcsin x.$$

Пусть

$$\arcsin(2x)+\arcsin x=\frac{\pi}{3}.$$

Тогда

$$\arcsin(2x)=\frac{\pi}{3}-\arcsin x.$$

Применим синус к обеим частям:

$$2x=\sin\left(\frac{\pi}{3}-\arcsin x\right).$$

Используем формулу разности синусов:

$$2x=\sin\frac{\pi}{3}\cos(\arcsin x)-\cos\frac{\pi}{3}\sin(\arcsin x).$$

Так как

$$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}, \quad \cos\frac{\pi}{3}=\frac12, \quad \cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}, \quad \sin(\arcsin x)=x,$$

получаем

$$2x=\frac{\sqrt3}{2}\sqrt{1-x^2}-\frac12 x.$$

Умножим на $2$:

$$4x=\sqrt3\sqrt{1-x^2}-x,$$

$$5x=\sqrt{3-3x^2}.$$

Возведём в квадрат:

$$25x^2=3-3x^2,$$

$$28x^2=3,$$

$$x^2=\frac{3}{28}.$$

Отсюда

$$x=\pm\sqrt{\frac{3}{28}}.$$

Проверим знак. Так как правая часть уравнения $$5x=\sqrt{3-3x^2}$$ неотрицательна, то $$x\ge 0.$$

Следовательно, подходит только

$$x=\sqrt{\frac{3}{28}}.$$

Ответ

$$\sqrt{\frac{3}{28}}$$