Упр.31.45 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 31.45. Докажите, что arcsin(5/13)+arcsin(12/13)=?/2.

Докажем равенство:

$$\arcsin \frac{5}{13}+\arcsin \frac{12}{13}=\frac{\pi}{2}.$$

Пусть

$$\arcsin \frac{5}{13}=\frac{\pi}{2}-\arcsin \frac{12}{13}.$$

Тогда после применения синуса к обеим частям получим:

$$\sin\left(\arcsin \frac{5}{13}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin \frac{12}{13}\right).$$

Левая часть равна

$$\sin\left(\arcsin \frac{5}{13}\right)=\frac{5}{13}.$$

Правая часть:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin \frac{12}{13}\right)=\cos\left(\arcsin \frac{12}{13}\right).$$

Так как

$$\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2},$$

то

$$\cos\left(\arcsin \frac{12}{13}\right)=\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}.$$

Следовательно,

$$\sin\left(\arcsin \frac{5}{13}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin \frac{12}{13}\right).$$

Значит,

$$\arcsin \frac{5}{13}=\frac{\pi}{2}-\arcsin \frac{12}{13},$$

откуда

$$\arcsin \frac{5}{13}+\arcsin \frac{12}{13}=\frac{\pi}{2}.$$

Ответ

$$\frac{\pi}{2}$$