Упр.31.44 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 31.44. Докажите, что arcsin(3/5)+arcsin(5/13)=arcsin(56/65).

Обозначим

$$\alpha=\arcsin\frac{3}{5}, \qquad \beta=\arcsin\frac{5}{13}.$$

Тогда нужно доказать, что

$$\alpha+\beta=\arcsin\frac{56}{65}.$$

Проверим это равенство, вычислив синус левой части:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.$$

Так как

$$\sin\alpha=\frac{3}{5}, \qquad \sin\beta=\frac{5}{13},$$

то

$$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5},$$

$$\cos\beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}.$$

Тогда

$$\sin(\alpha+\beta)=\frac{3}{5}\cdot\frac{12}{13}+\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{13}=\frac{36}{65}+\frac{20}{65}=\frac{56}{65}.$$

Кроме того,

$$\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right), \qquad \beta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right),$$

значит, $$\alpha+\beta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right),$$ и поэтому по значению синуса получаем

$$\alpha+\beta=\arcsin\frac{56}{65}.$$

Следовательно,

$$\arcsin\frac{3}{5}+\arcsin\frac{5}{13}=\arcsin\frac{56}{65}.$$

Ответ

$$\arcsin\frac{3}{5}+\arcsin\frac{5}{13}=\arcsin\frac{56}{65}.$$