Упр.31.43 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 31.43. Решите уравнение arctg(x)·arcctg(x)=-5?^2/18.

Обозначим $$a=\operatorname{arctg}x,$$ $$b=\operatorname{arcctg}x.$$ Тогда

$$a+b=\frac{\pi}{2}, \qquad ab=-\frac{5\pi^2}{18}.$$

Из первого равенства получаем $$b=\frac{\pi}{2}-a.$$ Подставим во второе:

$$a\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=-\frac{5\pi^2}{18}.$$

Приведём к квадратному уравнению:

$$a^2-\frac{\pi}{2}a-\frac{5\pi^2}{18}=0.$$

Умножим на $$18$$:

$$18a^2-9\pi a-5\pi^2=0.$$

Найдём корни:

$$D=(9\pi)^2+4\cdot 18\cdot 5\pi^2=81\pi^2+360\pi^2=441\pi^2,$$

$$a_{1,2}=\frac{9\pi\pm 21\pi}{36}.$$

Тогда

$$a_1=-\frac{\pi}{3}, \qquad a_2=\frac{5\pi}{6}.$$

Но $$\operatorname{arctg}x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),$$ значит подходит только

$$\operatorname{arctg}x=-\frac{\pi}{3}.$$

Отсюда

$$x=\tg\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}.$$

Ответ

$$-\sqrt{3}$$