Упр.31.42 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 31.42. Решите уравнение (arcsin(x))^2+(arccos(x))^2=5?^2/36.

Пусть $$a=\arcsin x$$, $$b=\arccos x$$. Тогда

$$a+b=\frac{\pi}{2}, \qquad a^2+b^2=\frac{5\pi^2}{36}.$$

Подставим $$b=\frac{\pi}{2}-a$$:

$$ a^2+\left(\frac{\pi}{2}-a\right)^2=\frac{5\pi^2}{36} $$

$$ a^2+\frac{\pi^2}{4}-a\pi+a^2=\frac{5\pi^2}{36} $$

$$ 2a^2-a\pi+\frac{\pi^2}{4}-\frac{5\pi^2}{36}=0 $$

$$ 2a^2-a\pi+\frac{\pi^2}{9}=0 $$

Умножим на $$9$$:

$$ 18a^2-9\pi a+\pi^2=0 $$

Найдём корни:

$$ D=(9\pi)^2-4\cdot 18\cdot \pi^2=81\pi^2-72\pi^2=9\pi^2 $$

$$ a_{1,2}=\frac{9\pi\pm 3\pi}{36} $$

$$ a_1=\frac{\pi}{6}, \qquad a_2=\frac{\pi}{3} $$

Так как $$a=\arcsin x$$, то

$$ \arcsin x=\frac{\pi}{6} \Rightarrow x=\frac{1}{2}, \qquad \arcsin x=\frac{\pi}{3} \Rightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Ответ

$$x=\frac{1}{2}, \ \frac{\sqrt{3}}{2}$$