Упр.31.40 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) arcsin(sin(4ПЂ/7)); 4) arctg(tg(10ПЂ/13));
2) arcsin(sin(3)); 5) arctg(tg(5));
3) arcsin(cos(8)); 6) arctg(ctg(13ПЂ/21)).

Подробный ответ

Используем значения обратных тригонометрических функций:

$$\arcsin x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], \qquad \arctg x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).$$

$$\arcsin\left(\sin \frac{4\pi}{7}\right)=\arcsin\left(\sin\left(\pi-\frac{4\pi}{7}\right)\right)=\arcsin\left(\sin \frac{3\pi}{7}\right)=\frac{3\pi}{7}.$$
$$3=\pi-(\pi-3), \qquad \pi-3 \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].$$
Поэтому
$$\arcsin(\sin 3)=\arcsin\left(\sin(\pi-3)\right)=\pi-3.$$
$$\cos 8=\sin\left(\frac{\pi}{2}-8\right).$$
Приведём угол к промежутку значений arcsin:
$$\frac{\pi}{2}-8+\!2\pi=\frac{5\pi}{2}-8 \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].$$
Тогда
$$\arcsin(\cos 8)=\arcsin\left(\sin\left(\frac{5\pi}{2}-8\right)\right)=\frac{5\pi}{2}-8.$$
$$\frac{10\pi}{13}=\pi-\frac{3\pi}{13}, \qquad -\frac{3\pi}{13}\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).$$
Следовательно,
$$\arctg\left(\tg \frac{10\pi}{13}\right)=\arctg\left(\tg\left(-\frac{3\pi}{13}\right)\right)=-\frac{3\pi}{13}.$$
$$5=2\pi+\left(5-2\pi\right), \qquad 5-2\pi\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).$$
Поэтому
$$\arctg(\tg 5)=\arctg\left(\tg(5-2\pi)\right)=5-2\pi.$$
$$\ctg x=\tg\left(\frac{\pi}{2}-x\right),$$
значит
$$\ctg \frac{13\pi}{21}=\tg\left(\frac{\pi}{2}-\frac{13\pi}{21}\right)=\tg\left(-\frac{5\pi}{42}\right).$$
Тогда
$$\arctg\left(\ctg \frac{13\pi}{21}\right)=\arctg\left(\tg\left(-\frac{5\pi}{42}\right)\right)=-\frac{5\pi}{42}.$$