Упр.31.39 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 31.39. Постройте график функции y=arcctg(ctg(x)).

Функция $$y=\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}x)$$ принимает значения из промежутка $$[0;\pi).$$

Для любого $$x\neq \pi n,\; n\in \mathbb{Z},$$ значение $$\operatorname{ctg}x$$ определено, а функция $$\operatorname{arcctg}$$ возвращает угол из промежутка $$[0;\pi),$$ котангенс которого равен данному числу.

На каждом промежутке $$[\pi n;\pi(n+1))$$ имеем

$$\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}x)=x-\pi n.$$

Значит, график состоит из одинаковых отрезков прямой $$y=x-\pi n$$ на каждом промежутке $$[\pi n;\pi(n+1)),$$ где левая точка закрашена, а правая выколота.

Итак, график — это периодическая с периодом $$\pi$$ «пилообразная» линия, совпадающая на каждом промежутке $$[\pi n;\pi(n+1))$$ с отрезком прямой $$y=x-\pi n.$$

Ответ

$$ y=\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}x)=x-\pi n,\quad x\in[\pi n;\pi(n+1)),\; n\in\mathbb Z, $$
то есть график — набор отрезков прямых с периодом $$\pi$$, идущих от точки $$\bigl(\pi n,0\bigr)$$ к точке $$\bigl(\pi(n+1),\pi\bigr)$$ без правого конца.