Упр.31.38 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 31.38. Постройте график функции y=arctg(tg(x)).

Функция $$y=\operatorname{arctg}(\tg x)$$ принимает значения из промежутка $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).$$

На каждом промежутке

$$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n,\;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z,$$

выполняется равенство

$$\operatorname{arctg}(\tg x)=x-\pi n.$$

Значит, график состоит из отрезков прямых $$y=x-\pi n$$ на указанных промежутках, причём в точках

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

функция не определена.

Итак, график — это периодическая с периодом $$\pi$$ «пилообразная» линия, совпадающая с прямой $$y=x$$ на промежутке $$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$$ и повторяющаяся сдвигом на $$\pi$$.

Ответ

$$y=\operatorname{arctg}(\tg x)=x-\pi n,\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n,\;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z,$$

график — периодическая с периодом $$\pi$$ ломаная из участков прямых с разрывами в точках $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$