Упр.31.34 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=cos(arccos(x)); 3) y=cos(2arccos(x));
2) y=sin(arccos(x)); 4) y=cos(arcsin(x)+arccos(x)).

1. $$y=\cos(\arccos x)$$

   Так как $$\cos(\arccos x)=x$$ при $$-1\le x\le 1,$$ то

   $$y=x,\quad -1\le x\le 1.$$

   График — отрезок прямой $$y=x$$ на промежутке $$[-1;1].$$

2. $$y=\sin(\arccos x)$$

   Пусть $$\alpha=\arccos x,$$ тогда $$\cos\alpha=x,$$ а $$\alpha\in[0;\pi].$$ Следовательно,

   $$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-x^2}.$$

   Значит,

   $$y=\sqrt{1-x^2},\quad |x|\le 1.$$

   Это верхняя полуокружность радиуса $$1$$ с центром в начале координат.

3. $$y=\cos(2\arccos x)$$

   Используем формулу:

   $$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha.$$

   Тогда при $$\alpha=\arccos x$$ получаем

   $$y=x^2-(1-x^2)=2x^2-1,\quad |x|\le 1.$$

   График — часть параболы $$y=2x^2-1$$ на промежутке $$[-1;1].$$

4. $$y=\cos(\arcsin x+\arccos x)$$

   Для любого $$x\in[-1;1]$$ выполняется тождество

   $$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}.$$

   Тогда

   $$y=\cos\frac{\pi}{2}=0,\quad -1\le x\le 1.$$

   График — отрезок оси $$Ox$$ на промежутке $$[-1;1].$$

Ответ

1) $$y=x,\ -1\le x\le 1$$;
2) $$y=\sqrt{1-x^2},\ |x|\le 1$$;
3) $$y=2x^2-1,\ |x|\le 1$$;
4) $$y=0,\ -1\le x\le 1$$.