Упр.31.33 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=sin(arcsin(x)); 3) y=cos(2arcsin(x));
2) y=cos(arcsin(x)); 4) y=sin(arcsin(x)+arccos(x)).

1. $$y=\sin(\arcsin x)$$

   Так как $$\sin(\arcsin x)=x$$, то

   $$y=x,\quad -1\le x\le 1.$$

   График — отрезок прямой $$y=x$$ на промежутке $$[-1;1]$$.

2. $$y=\cos(\arcsin x)$$

   Пусть $$\alpha=\arcsin x$$, тогда $$\sin\alpha=x$$ и $$\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$$, значит $$\cos\alpha\ge 0$$.

   По формуле $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$ получаем:

   $$y=\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2},\quad |x|\le 1.$$

   Это верхняя полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат.

3. $$y=\cos(2\arcsin x)$$

   Используем формулу $$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$, где $$\alpha=\arcsin x$$:

   $$\cos^2(\arcsin x)-\sin^2(\arcsin x)=(1-x^2)-x^2=1-2x^2.$$

   Следовательно,

   $$y=1-2x^2,\quad |x|\le 1.$$

   График — парабола, ограниченная промежутком $$[-1;1]$$.

4. $$y=\sin(\arcsin x+\arccos x)$$

   Для любого $$x\in[-1;1]$$ выполняется

   $$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}.$$

   Тогда

   $$y=\sin\frac{\pi}{2}=1,\quad -1\le x\le 1.$$

   График — горизонтальный отрезок прямой $$y=1$$ на промежутке $$[-1;1]$$.

Ответ

1) $$y=x,\ -1\le x\le 1$$;
2) $$y=\sqrt{1-x^2},\ |x|\le 1$$;
3) $$y=1-2x^2,\ |x|\le 1$$;
4) $$y=1,\ -1\le x\le 1$$.