Упр.31.32 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 31.32. Решите неравенство arcctg(3x-7) > 2?/3.

Функция $$y=\operatorname{arcctg} x$$ убывает на всей области определения, поэтому при неравенстве

$$\operatorname{arcctg}(3x-7)>\frac{2\pi}{3}$$

можно перейти к равносильному неравенству для аргумента с изменением знака:

$$3x-7<\operatorname{ctg}\frac{2\pi}{3}.$$

Вычислим:

$$\operatorname{ctg}\frac{2\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Тогда

$$3x-7<-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

$$3x<7-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{21-\sqrt{3}}{3}$$

$$x<\frac{21-\sqrt{3}}{9}.$$

Ответ

$$\left(-\infty;\frac{21-\sqrt{3}}{9}\right).$$