Упр.31 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 31. Найдите значение выражения ((v3+v6)^(1/3)·(9-6v2)^(1/6)-18^(1/6))/(2^(1/6)-1).

Подробный ответ

Преобразуем выражение:

$$ \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{6})^{1/3}\cdot(9-6\sqrt{2})^{1/6}-18^{1/6}}{2^{1/6}-1} $$

Заметим, что

$$ (\sqrt{3}+\sqrt{6})^2=3+2\sqrt{18}+6=9+6\sqrt{2}, $$
поэтому
$$ (\sqrt{3}+\sqrt{6})^{1/3}=\sqrt[6]{9+6\sqrt{2}}. $$
Тогда числитель можно записать так:

$$ \sqrt[6]{9+6\sqrt{2}}\cdot \sqrt[6]{9-6\sqrt{2}}-\sqrt[6]{18} = \sqrt[6]{(9+6\sqrt{2})(9-6\sqrt{2})}-\sqrt[6]{18}. $$

Вычислим произведение под корнем:

$$ (9+6\sqrt{2})(9-6\sqrt{2})=81-72=9. $$

Значит,

$$ \sqrt[6]{(9+6\sqrt{2})(9-6\sqrt{2})}-\sqrt[6]{18} = \sqrt[6]{9}-\sqrt[6]{18}. $$

Вынесем общий множитель:

$$ \sqrt[6]{9}-\sqrt[6]{18} = \sqrt[6]{9}\,(1-\sqrt[6]{2}). $$

Тогда всё выражение равно

$$ \frac{\sqrt[6]{9}\,(1-\sqrt[6]{2})}{\sqrt[6]{2}-1} = -\sqrt[6]{9} = -\sqrt[3]{3}. $$