Упр.31.30 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) arccos(4x-1) > 3?/4;
2) arcsin(2-3x) < ?/4; 3) arccos(4-7x) < 5?/6.

1. $$\arccos(4x-1)>\frac{3\pi}{4}$$

   Так как функция $$\arccos t$$ убывает на своей области определения, то

   $$4x-1<\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   С учётом области определения:

   $$-1\le 4x-1<-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Тогда

   $$0\le 4x<1-\frac{\sqrt2}{2}=\frac{2-\sqrt2}{2},$$

   $$0\le x<\frac{2-\sqrt2}{8}.$$

2. $$\arcsin(2-3x)<\frac{\pi}{4}$$

   Функция $$\arcsin t$$ возрастает, значит

   $$-1\le 2-3x<\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Решаем двойное неравенство:

   $$-1\le 2-3x$$

   $$3x\le 3,$$

   $$x\le 1;$$

   $$2-3x<\frac{\sqrt2}{2}$$

   $$-3x<\frac{\sqrt2}{2}-2$$

   $$3x>2-\frac{\sqrt2}{2}=\frac{4-\sqrt2}{2},$$

   $$x>\frac{4-\sqrt2}{6}.$$

   Итак,

   $$\frac{4-\sqrt2}{6}<x\le 1.$$

3. $$\arccos(4-7x)<\frac{5\pi}{6}$$

   Так как $$\arccos t$$ убывает, то

   $$4-7x>\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

   С учётом области определения:

   $$-1\le 4-7x<1,$$

   и вместе с полученным неравенством:

   $$-\frac{\sqrt3}{2}<4-7x\le 1.$$

   Тогда

   $$-1<7x-4\le \frac{\sqrt3}{2},$$

   $$3<7x\le 4+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{8+\sqrt3}{2},$$

   $$\frac{3}{7}<x\le \frac{8+\sqrt3}{14}.$$

Ответ

1) $$\left[0;\frac{2-\sqrt2}{8}\right);$$ 2) $$\left(\frac{4-\sqrt2}{6};1\right];$$ 3) $$\left(\frac{3}{7};\frac{8+\sqrt3}{14}\right].$$