Упр.31.29 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) arccos(2x-1) > ?/3;
2) arcsin(2x) > ?/6;
3) arcsin(5-3x) < -?/3.

1. $$\arccos(2x-1)>\frac{\pi}{3}$$

   Так как функция $$\arccos t$$ убывает, то

   $$2x-1<\cos\frac{\pi}{3}$$

   $$2x-1<\frac12$$

   $$2x<\frac32$$

   $$x<\frac34$$

   С учётом области определения:

   $$-1\le 2x-1\le 1$$

   $$0\le x\le 1$$

   Пересечение условий:

   $$x\in\left[0;\frac34\right)$$

2. $$\arcsin(2x)>\frac{\pi}{6}$$

   Так как функция $$\arcsin t$$ возрастает, то

   $$2x>\sin\frac{\pi}{6}$$

   $$2x>\frac12$$

   $$x>\frac14$$

   С учётом области определения:

   $$-1\le 2x\le 1$$

   $$-\frac12\le x\le \frac12$$

   Пересечение условий:

   $$x\in\left(\frac14;\frac12\right]$$

3. $$\arcsin(5-3x)<-\frac{\pi}{3}$$

   Так как функция $$\arcsin t$$ возрастает, то

   $$5-3x<\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$$

   $$5-3x<-\frac{\sqrt3}{2}$$

   $$-3x<-\frac{\sqrt3}{2}-5$$

   $$3x>5+\frac{\sqrt3}{2}$$

   $$x>\frac{10+\sqrt3}{6}$$

   С учётом области определения:

   $$-1\le 5-3x\le 1$$

   $$\frac43\le x\le 2$$

   Пересечение условий:

   $$x\in\left(\frac{10+\sqrt3}{6};2\right]$$

Ответ

1) $$\left[0;\frac34\right)$$; 2) $$\left(\frac14;\frac12\right]$$; 3) $$\left(\frac{10+\sqrt3}{6};2\right]$$.