Упр.31.28 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(arccos(4x-1))=3x^2;
2) cos(arccos(x-1))=x-1.

1) Используем тождество $$\cos(\arccos t)=t$$ при $$t\in[-1;1].$$ Тогда

$$4x-1=3x^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$3x^2-4x+1=0.$$

Найдём корни:

$$D= (-4)^2-4\cdot 3\cdot 1=16-12=4,$$

$$x_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2\cdot 3}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{1}{3}, \qquad x_2=1.$$

Проверим область допустимых значений для $$\arccos(4x-1)$$:

$$-1\le 4x-1\le 1,$$

$$0\le x\le \frac12.$$

Из найденных корней этому условию удовлетворяет только $$x=\frac13.$$

2) Аналогично:

$$\cos(\arccos(x-1))=x-1 \quad \Rightarrow \quad x-1=x-1.$$

Это тождество верно при всех значениях $$x,$$ для которых определено выражение $$\arccos(x-1).$$

Требуемая область определения:

$$-1\le x-1\le 1,$$

$$0\le x\le 2.$$

Ответ

1) $$x=\frac13$$

2) $$x\in[0;2]$$