Упр.31.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(arccos(4x-9))=x^2-5x+5;
2) sin(arcsin(x+2))=x+2.

1. $$\cos(\arccos(4x-9))=x^2-5x+5$$

   Так как $$\cos(\arccos t)=t$$ при $$t \in [-1;1]$$, получаем

   $$4x-9=x^2-5x+5.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$x^2-9x+14=0.$$

   $$D=9^2-4\cdot 1\cdot 14=81-56=25.$$

   $$x_{1,2}=\frac{9\pm 5}{2}, \quad x_1=2,\quad x_2=7.$$

   Проверим область допустимых значений для $$\arccos(4x-9)$$:

   $$-1 \le 4x-9 \le 1,$$

   $$2 \le x \le \frac{5}{2}.$$

   Из найденных корней этому промежутку принадлежит только $$x=2$$.

2. $$\sin(\arcsin(x+2))=x+2$$

   Так как $$\sin(\arcsin t)=t$$ при $$t \in [-1;1]$$, то левая часть равна $$x+2$$, и уравнение превращается в тождество:

   $$x+2=x+2.$$

   Остаётся учесть область определения:

   $$-1 \le x+2 \le 1,$$

   $$-3 \le x \le -1.$$

Ответ

1) $$x=2$$; 2) $$x \in [-3;-1]$$.