Упр.31.26 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(arctg(-3)); 2) cos(2arctg(1/4)+arccos(3/5)).

1) Пусть $$x=\arctg(-3).$$ Тогда $$\tg x=-3,$$ причём $$-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}.$$

Найдём $$\cos x$$:

$$\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}}=\frac{1}{\sqrt{1+(-3)^2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.$$

Тогда

$$\sin(\arctg(-3))=\sin x=\tg x\cdot \cos x=-3\cdot \frac{1}{\sqrt{10}}=-\frac{3}{\sqrt{10}}.$$

2) Пусть $$x=\arctg\frac14,$$ тогда $$\tg x=\frac14,$$ $$-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}.$$

Пусть $$y=\arccos\frac35.$$ Тогда

$$\cos y=\frac35,$$

а так как $$y\in[0,\pi],$$ то

$$\sin y=\sqrt{1-\cos^2 y}=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac45.$$

Найдём $$\sin x$$ и $$\cos x$$:

$$\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac14\right)^2}}=\frac{4}{\sqrt{17}},$$

$$\sin x=\tg x\cdot \cos x=\frac14\cdot \frac{4}{\sqrt{17}}=\frac{1}{\sqrt{17}}.$$

Теперь вычислим:

$$\cos\left(2\arctg\frac14+\arccos\frac35\right)=\cos(2x+y)=\cos 2x\cos y-\sin 2x\sin y.$$

Вычислим $$\cos 2x$$ и $$\sin 2x$$:

$$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=\frac{16}{17}-\frac{1}{17}=\frac{15}{17},$$

$$\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot \frac{1}{\sqrt{17}}\cdot \frac{4}{\sqrt{17}}=\frac{8}{17}.$$

Тогда

$$\cos(2x+y)=\frac{15}{17}\cdot \frac35-\frac{8}{17}\cdot \frac45=\frac{45-32}{85}=\frac{13}{85}.$$

Ответ

1) $$-\frac{3}{\sqrt{10}}$$; 2) $$\frac{13}{85}$$.