Упр.31.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(arctg(2)); 2) cos(arctg(1/2)-arcctg(3)).

1) Пусть $$x=\arctg 2.$$ Тогда $$\tg x=2,$$ причём $$-\frac{\pi}{2}

Найдём $$\cos x$$:

$$\cos x=\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2 x}}=\sqrt{\frac{1}{1+2^2}}=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt5}.$$

Тогда

$$\sin(\arctg 2)=\sin x=\tg x\cdot \cos x=2\cdot \frac{1}{\sqrt5}=\frac{2}{\sqrt5}.$$

2) Пусть $$x=\arctg \frac12,$$ тогда $$\tg x=\frac12,$$ $$-\frac{\pi}{2}

Пусть $$y=\arcctg 3,$$ тогда $$\ctg y=3,$$ $$0<y<\pi.$$

Найдём значения тригонометрических функций:

$$\sin x=\tg x\cdot \cos x=\frac12\cdot \frac{2}{\sqrt5}=\frac{1}{\sqrt5},$$

$$\cos x=\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2 x}}=\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac12\right)^2}}=\frac{2}{\sqrt5},$$

$$\sin y=\sqrt{\frac{1}{1+\ctg^2 y}}=\sqrt{\frac{1}{1+3^2}}=\frac{1}{\sqrt{10}},$$

$$\cos y=\ctg y\cdot \sin y=3\cdot \frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}.$$

Тогда

$$\cos\left(\arctg \frac12-\arcctg 3\right)=\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y.$$

Подставим найденные значения:

$$\cos(x-y)=\frac{2}{\sqrt5}\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{1}{\sqrt5}\cdot \frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{6}{\sqrt{50}}+\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{7}{\sqrt{50}}.$$

Ответ

1) $$\frac{2}{\sqrt5}$$; 2) $$\frac{7}{\sqrt{50}}$$.