Упр.31.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(arccos(1/3));
2) cos(2arccos(4/5));
3) cos(1/2arcsin(5/13)).

1. $$\sin(\arccos\tfrac13)=\sqrt{1-\cos^2(\arccos\tfrac13)}=\sqrt{1-\left(\tfrac13\right)^2}=\sqrt{\tfrac89}=\tfrac{2\sqrt2}{3}.$$

2. $$\cos\bigl(2\arccos\tfrac45\bigr)=2\cos^2\bigl(\arccos\tfrac45\bigr)-1=2\left(\tfrac45\right)^2-1=\tfrac{32}{25}-1=\tfrac7{25}.$$

3. Пусть $$\alpha=\arcsin\tfrac{5}{13}.$$ Тогда $$\sin\alpha=\tfrac{5}{13},$$ а значит

   $$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\tfrac{5}{13}\right)^2}=\sqrt{\tfrac{144}{169}}=\tfrac{12}{13}.$$

   Используем формулу половинного угла:

   $$\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1+\tfrac{12}{13}}{2}}=\sqrt{\frac{25}{26}}=\frac{5}{\sqrt{26}}.$$

Ответ

1) $$\frac{2\sqrt2}{3}$$; 2) $$\frac7{25}$$; 3) $$\frac{5}{\sqrt{26}}$$.