Упр.31.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(arcsin(4/5));
2) sin(2arcsin(3/5));
3) cos(1/2arccos(1/8)).

1) Пусть $$\alpha=\arcsin\frac{4}{5}.$$ Тогда $$\sin\alpha=\frac{4}{5}$$ и

$$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$$

Значит,

$$\cos\left(\arcsin\frac{4}{5}\right)=\frac{3}{5}.$$

2) Пусть $$\beta=\arcsin\frac{3}{5}.$$ Тогда $$\sin\beta=\frac{3}{5},$$ и по формуле двойного угла

$$\sin 2\beta=2\sin\beta\cos\beta.$$

Найдём $$\cos\beta$$:

$$\cos\beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}.$$

Тогда

$$\sin\left(2\arcsin\frac{3}{5}\right)=2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25}.$$

3) Пусть $$\gamma=\arccos\frac{1}{8}.$$ Тогда $$\cos\gamma=\frac{1}{8}.$$ Используем формулу

$$\cos\frac{\gamma}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\gamma}{2}}.$$

Получаем

$$\cos\left(\frac{1}{2}\arccos\frac{1}{8}\right)=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{8}}{2}}=\sqrt{\frac{\frac{9}{8}}{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}.$$

Ответ

$$1)\ \frac{3}{5};\quad 2)\ \frac{24}{25};\quad 3)\ \frac{3}{4}.$$