Упр.31.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 31.22. Докажите, что при |x|?1 выполняется равенство cos(arcsin(x))=v(1-x^2).

Пусть $$y=\arcsin x.$$ Тогда по определению арксинуса

$$\sin y=x,\qquad -\frac{\pi}{2}\le y\le \frac{\pi}{2}.$$

На этом промежутке косинус неотрицателен, значит

$$\cos(\arcsin x)=\cos y=\sqrt{1-\sin^2 y}.$$

Подставим $$\sin y=x$$:

$$\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}.$$

Это равенство имеет смысл при $$|x|\le 1$$, так как именно при этом условии выражение под корнем неотрицательно.

Ответ

$$\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2},\qquad |x|\le 1.$$