Упр.31.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что при $$|x|<1$$ выполняется равенство $$\sin(\arccos(x))=v(1-x^2)$$.

Так как $$0 \le \arccos x \le \pi,$$ то $$\sin(\arccos x)\ge 0.$$

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2(\arccos x)+\cos^2(\arccos x)=1.$$

Поскольку $$\cos(\arccos x)=x,$$ получаем

$$\sin^2(\arccos x)=1-x^2.$$

Тогда

$$\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}.$$

При этом выражение определено при $$|x|\le 1,$$ а для $$|x|<1$$ равенство также выполняется.

Ответ

$$\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}.$$