Упр.31.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 31.21. Докажите, что при |x| < 1 выполняется равенство sin(arccos(x))=v(1-x^2).

Пусть $$t=\arccos x.$$ Тогда по определению арккосинуса

$$\cos t=x,$$

причём при $$|x|<1$$ имеем $$0<t<\pi.$$

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 t=1-\cos^2 t.$$

Тогда

$$\sin t=\sqrt{1-\cos^2 t}.$$

Подставляя $$t=\arccos x$$ и учитывая, что $$\sin(\arccos x)\ge 0,$$ получаем

$$\sin(\arccos x)=\sqrt{1-\cos^2(\arccos x)}=\sqrt{1-x^2}.$$

Итак, при $$|x|<1$$ выполняется равенство

$$\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}.$$

Ответ

$$\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}, \quad |x|<1.$$