Упр.31.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 31.20. Найдите область значений функции y=1/arcctg(x).

Для функции $$y=\frac{1}{\operatorname{arcctg}x}$$ известно, что

$$0<\operatorname{arcctg}x<\pi.$$

Значит, знаменатель всегда положителен и не может быть равен нулю. При этом наибольшее значение $$\operatorname{arcctg}x$$ стремится к $$\pi$$, а наименьшее — к $$0$$, поэтому

$$\frac{1}{\operatorname{arcctg}x}>\frac{1}{\pi}.$$

Следовательно, область значений функции:

$$E(y)=\left(\frac{1}{\pi};+\infty\right).$$

Ответ

$$\left(\frac{1}{\pi};+\infty\right)$$