Упр.31 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите значение выражения $$\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{6})^{\frac{1}{3}}\cdot(9-6\sqrt{2})^{\frac{1}{6}}-\sqrt[6]{18}}{\sqrt[6]{2}-1}$$.

Преобразуем выражение:

$$\frac{\sqrt[3]{\sqrt3+\sqrt6}\cdot \sqrt[6]{9-6\sqrt2}-\sqrt[6]{18}}{\sqrt[6]{2}-1}$$

Заметим, что

$$\sqrt[3]{\sqrt3+\sqrt6}=\sqrt[6]{(\sqrt3+\sqrt6)^2}=\sqrt[6]{3+2\sqrt{18}+6}=\sqrt[6]{9+6\sqrt2}.$$

Тогда числитель можно записать так:

$$\sqrt[6]{9+6\sqrt2}\cdot \sqrt[6]{9-6\sqrt2}-\sqrt[6]{18}=\sqrt[6]{(9+6\sqrt2)(9-6\sqrt2)}-\sqrt[6]{18}.$$

Вычислим произведение под корнем:

$$(9+6\sqrt2)(9-6\sqrt2)=81-72=9.$$

Следовательно,

$$\sqrt[6]{(9+6\sqrt2)(9-6\sqrt2)}-\sqrt[6]{18}=\sqrt[6]{9}-\sqrt[6]{18}.$$

Так как

$$\sqrt[6]{9}=\sqrt[6]{3^2}=3^{1/3}=\sqrt[3]{3}, \qquad \sqrt[6]{18}=\sqrt[6]{9\cdot 2}=\sqrt[6]{9}\cdot \sqrt[6]{2},$$

то

$$\sqrt[6]{9}-\sqrt[6]{18}=\sqrt[6]{9}(1-\sqrt[6]{2}).$$

Но удобнее заметить, что

$$\sqrt[6]{9}=\sqrt[3]{3}, \qquad \sqrt[6]{18}=\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[6]{2},$$

и тогда

$$\sqrt[6]{9}-\sqrt[6]{18}=\sqrt[3]{3}(1-\sqrt[6]{2}).$$

Подставим в исходную дробь:

$$\frac{\sqrt[3]{3}(1-\sqrt[6]{2})}{\sqrt[6]{2}-1}=-\sqrt[3]{3}.$$

Ответ: $$-\sqrt[3]{3}$$