Упр.31.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=arcsin(x+?/2); 2) y=arccos(v(3-x)); 3) y=arccos(2/(3x)).

1. Для функции $$y=\arcsin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$ аргумент арксинуса должен удовлетворять условию

   $$-1 \le x+\frac{\pi}{2} \le 1.$$

   Вычтем $$\frac{\pi}{2}$$ из всех частей неравенства:

   $$-1-\frac{\pi}{2} \le x \le 1-\frac{\pi}{2}.$$

2. Для функции $$y=\arccos\sqrt{3-x}$$ нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а аргумент арккосинуса лежал в промежутке $$[-1;1]$$.

   Так как $$\sqrt{3-x}\ge 0,$$ достаточно потребовать

   $$\sqrt{3-x}\le 1.$$

   Тогда

   $$3-x\le 1,$$

   $$x\ge 2.$$

   Одновременно должно выполняться

   $$3-x\ge 0,$$

   $$x\le 3.$$

   Следовательно,

   $$x\in[2;3].$$

3. Для функции $$y=\arccos\frac{2}{3x}$$ аргумент арккосинуса должен удовлетворять неравенству

   $$-1\le \frac{2}{3x}\le 1,$$

   то есть

   $$\left|\frac{2}{3x}\right|\le 1.$$

   Отсюда

   $$\frac{2}{3|x|}\le 1,$$

   $$2\le 3|x|,$$

   $$|x|\ge \frac{2}{3}.$$

   Значит,

   $$x\le -\frac{2}{3}\quad \text{или}\quad x\ge \frac{2}{3}.$$

Ответ

1) $$\left[-\frac{\pi}{2}-1;\,1-\frac{\pi}{2}\right]$$; 2) $$[2;3]$$; 3) $$(-\infty;-\frac{2}{3}] \cup [\frac{2}{3};+\infty)$$.