Упр.31.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите область определения функции:
   1) $$y=\arcsin(x+?/2)$$;
   2) $$y=\arccos(v(3-x))$$;
   3) $$y=\arccos\left(\frac{2}{3x}\right)$$.

Для функции $$y=\arcsin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$ аргумент арксинуса должен удовлетворять условию

$$-1\le x+\frac{\pi}{2}\le 1.$$

Тогда

$$-1-\frac{\pi}{2}\le x\le 1-\frac{\pi}{2}.$$

Следовательно, область определения:

$$\left[-\frac{\pi}{2}-1;\,1-\frac{\pi}{2}\right].$$

Для функции $$y=\arccos\sqrt{3-x}$$ нужно, чтобы

$$-1\le \sqrt{3-x}\le 1.$$

Так как $$\sqrt{3-x}\ge 0,$$ достаточно условия

$$\sqrt{3-x}\le 1.$$

Возводим в квадрат:

$$3-x\le 1,$$

откуда

$$x\ge 2.$$

Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$3-x\ge 0,\quad x\le 3.$$

Итак, область определения:

$$[2;\,3].$$

Для функции $$y=\arccos\frac{2}{3x}$$ требуется

$$-1\le \frac{2}{3x}\le 1,\quad x\ne 0.$$

Это равносильно неравенству

$$\left|\frac{2}{3x}\right|\le 1,$$

то есть

$$\frac{2}{3|x|}\le 1 \quad \Longrightarrow \quad 2\le 3|x| \quad \Longrightarrow \quad |x|\ge \frac{2}{3}.$$

Значит,

$$x\le -\frac{2}{3}\quad \text{или}\quad x\ge \frac{2}{3}.$$

Область определения:

$$(-\infty;\,-\frac{2}{3}] \cup [\frac{2}{3};\,+\infty).$$

Ответ

1) $$\left[-\frac{\pi}{2}-1;\,1-\frac{\pi}{2}\right]$$

2) $$[2;\,3]$$

3) $$(-\infty;\,-\frac{2}{3}] \cup [\frac{2}{3};\,+\infty)$$