Упр.31.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=arccosvx+2; 2) y=1/arccos(x); 3) y=1/varcsin(x).

1. $$y=\arccos\sqrt{x}+2$$

   Так как $$\sqrt{x}\in[0;+\infty)$$, а для функции $$\arccos t$$ при $$t\in[0;1]$$ выполняется

   $$0\le \arccos\sqrt{x}\le \frac{\pi}{2},$$

   то

   $$2\le \arccos\sqrt{x}+2\le \frac{\pi}{2}+2.$$

   Следовательно, область значений:

   $$\left[2;\frac{\pi}{2}+2\right].$$

2. $$y=\frac{1}{\arccos x}$$

   Для $$\arccos x$$ имеем

   $$0\le \arccos x\le \pi,$$

   но знаменатель не может быть равен нулю, значит

   $$0<\arccos x\le \pi.$$

   Тогда

   $$y=\frac{1}{\arccos x}\ge \frac{1}{\pi}.$$

   При $$\arccos x\to 0+$$ значение $$y\to +\infty$$, поэтому

   $$\left[\frac{1}{\pi};+\infty\right).$$

3. $$y=\frac{1}{\sqrt{\arcsin x}}$$

   Так как

   $$0\le \arcsin x\le \frac{\pi}{2},$$

   а подкоренное выражение должно быть положительным, то

   $$0<\arcsin x\le \frac{\pi}{2}.$$

   Следовательно,

   $$0<\sqrt{\arcsin x}\le \sqrt{\frac{\pi}{2}}.$$

   Тогда

   $$y=\frac{1}{\sqrt{\arcsin x}}\ge \sqrt{\frac{2}{\pi}}.$$

   При $$\arcsin x\to 0+$$ значение $$y\to +\infty$$, значит область значений:

   $$\left[\sqrt{\frac{2}{\pi}};+\infty\right).$$

Ответ

1) $$\left[2;\frac{\pi}{2}+2\right]$$; 2) $$\left[\frac{1}{\pi};+\infty\right)$$; 3) $$\left[\sqrt{\frac{2}{\pi}};+\infty\right)$$.