Упр.31.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=arcsinvx+4; 2) y=1/arcsin(x); 3) y=1/varccos(x).

1. $$y=\arcsin\sqrt{x}+4$$

   Так как $$\sqrt{x}\in[0;1]$$, то

   $$0\le \arcsin\sqrt{x}\le \frac{\pi}{2}.$$

   Прибавим 4:

   $$4\le \arcsin\sqrt{x}+4\le \frac{\pi}{2}+4.$$

   Следовательно, область значений функции:

   $$\left[4;\frac{\pi}{2}+4\right].$$

2. $$y=\frac{1}{\arcsin x}$$

   Значения функции $$\arcsin x$$ лежат в промежутке

   $$-\frac{\pi}{2}\le \arcsin x\le \frac{\pi}{2}.$$

   При этом $$\arcsin x\ne 0$$, значит

   $$\arcsin x\in \left[-\frac{\pi}{2};0\right)\cup\left(0;\frac{\pi}{2}\right].$$

   Тогда для обратных значений получаем:

   $$y\in \left(-\infty;-\frac{2}{\pi}\right]\cup\left[\frac{2}{\pi};+\infty\right).$$

3. $$y=\frac{1}{\sqrt{\arccos x}}$$

   Так как

   $$0\le \arccos x\le \pi,$$

   а в знаменателе стоит корень, то нужно $$\arccos x>0.$$ Следовательно,

   $$0<\arccos x\le \pi,$$

   откуда

   $$0<\sqrt{\arccos x}\le \sqrt{\pi}.$$

   Тогда

   $$y=\frac{1}{\sqrt{\arccos x}}\ge \frac{1}{\sqrt{\pi}}.$$

   Значит, область значений функции:

   $$\left[\frac{1}{\sqrt{\pi}};+\infty\right).$$

Ответ

1) $$\left[4;\frac{\pi}{2}+4\right]$$; 2) $$\left(-\infty;-\frac{2}{\pi}\right]\cup\left[\frac{2}{\pi};+\infty\right)$$; 3) $$\left[\frac{1}{\sqrt{\pi}};+\infty\right).$$