Упр.31.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=v(?/2-arcsin(x)); 3) y=v(-arccos(x));
2) y=v(arcsin(x)-?/2); 4) y=arccos(x^2-2x+2).

1. $$y=\sqrt{\frac{\pi}{2}-\arcsin x}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$\frac{\pi}{2}-\arcsin x \ge 0$$

   $$\arcsin x \le \frac{\pi}{2}$$

   Так как $$\arcsin x \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$$ при $$x \in [-1;1]$$, то неравенство выполняется для всех допустимых значений $$x$$.

   $$D(y)=[-1;1]$$

2. $$y=\sqrt{\arcsin x-\frac{\pi}{2}}$$

   Требуем:

   $$\arcsin x-\frac{\pi}{2}\ge 0$$

   $$\arcsin x\ge \frac{\pi}{2}$$

   Но $$\arcsin x \le \frac{\pi}{2}$$, значит возможно только

   $$\arcsin x=\frac{\pi}{2}$$

   Отсюда

   $$x=1$$

   $$D(y)=\{1\}$$

3. $$y=\sqrt{-\arccos x}$$

   Подкоренное выражение неотрицательно:

   $$-\arccos x\ge 0$$

   $$\arccos x\le 0$$

   Так как $$\arccos x \in [0;\pi]$$, то возможно только

   $$\arccos x=0$$

   Отсюда

   $$x=1$$

   $$D(y)=\{1\}$$

4. $$y=\arccos(x^2-2x+2)$$

   Для существования функции арккосинуса нужно:

   $$-1\le x^2-2x+2\le 1$$

   Левая часть выполняется всегда, так как

   $$x^2-2x+2=(x-1)^2+1\ge 1$$

   Остаётся условие

   $$x^2-2x+2\le 1$$

   $$x^2-2x+1\le 0$$

   $$\left(x-1\right)^2\le 0$$

   Следовательно,

   $$x=1$$

   $$D(y)=\{1\}$$

Ответ

1) $$[-1;1]$$; 2) $$\{1\}$$; 3) $$\{1\}$$; 4) $$\{1\}$$.