Упр.30.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (tg(x)-a)/(ctg(x)+3)=0; 2) (sin(x)-a)/(3tg^2(x)-1)=0?

Подробный ответ

1) Рассмотрим уравнение

$$\frac{\tg x-a}{\ctg x+3}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и не равен нулю:

$$\tg x-a=0,\qquad \ctg x+3\ne 0.$$

Из первого равенства получаем

$$\tg x=a.$$

Так как $$\ctg x=\frac{1}{\tg x},$$ то при $$\tg x=a$$ нужно, чтобы $$a\ne 0$$ и $$\frac{1}{a}+3\ne 0.$$

Отсюда

$$a\ne 0,\qquad a\ne -\frac13.$$

Значит, уравнение имеет решения при всех значениях параметра, кроме $$0$$ и $$-\frac13$$:

$$a\in(-\infty;-\tfrac13)\cup(-\tfrac13;0)\cup(0;+\infty).$$

2) Рассмотрим уравнение

$$\frac{\sin x-a}{3\tg^2 x-1}=0.$$

Для существования решения нужно, чтобы

$$\sin x-a=0,\qquad 3\tg^2 x-1\ne 0.$$

Из числителя:

$$\sin x=a.$$

Так как $$\tg^2 x=\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x},$$ то при $$\sin x=a$$ знаменатель не должен обращаться в нуль. Подставим $$\tg^2 x=\frac{\sin^2 x}{1-\sin^2 x}$$ и рассмотрим условие существования:

$$3\tg^2 x-1=0 \iff 3\frac{\sin^2 x}{1-\sin^2 x}-1=0.$$

После преобразований получаем, что запрещённые значения для $$a$$ соответствуют случаям, когда уравнение $$\sin x=a$$ не может дать допустимое решение из-за обращения знаменателя в нуль. Это происходит при

$$a=\pm 1,\qquad a=\pm \frac12.$$

Следовательно, уравнение имеет решения при

$$a\in(-1;-\tfrac12)\cup(-\tfrac12;\tfrac12)\cup(\tfrac12;1).$$