Упр.30.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) ctg(2?/(5x))=1; 2) tg(1/vx)=-1; 3) ctg(? cos(x))=1.

1) $$\ctg\frac{2\pi}{5x}=1.$$

Тогда

$$\frac{2\pi}{5x}=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$\frac{2}{5x}=\frac14+n,$$

$$\frac1x=\frac{5+20n}{8},$$

$$x=\frac{8}{20n+5},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\tg\frac{1}{\sqrt{x}}=-1.$$

Тогда

$$\frac{1}{\sqrt{x}}=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Так как $$\frac{1}{\sqrt{x}}>0,$$ то

$$\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{4\pi n-\pi}{4}.$$

Следовательно,

$$\sqrt{x}=\frac{4}{4\pi n-\pi},$$

$$x=\frac{16}{(4\pi n-\pi)^2},\quad n\in\mathbb N.$$

3) $$\ctg(\pi\cos x)=1.$$

Тогда

$$\pi\cos x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$\cos x=\frac14+n.$$

Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ возможны только значения $$\cos x=\frac14$$ и $$\cos x=-\frac34.$$ Поэтому

$$x=\pm\arccos\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

или

$$x=\pm\arccos\left(-\frac34\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{8}{20n+5},\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{16}{(4\pi n-\pi)^2},\ n\in\mathbb N.$$
3) $$x=\pm\arccos\frac14+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pm\arccos\left(-\frac34\right)+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$