Упр.30.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) tg(?/x)=0; 2) ctg(?/vx)=1; 3) tg(? sin(x))=v3.

1. $$\tg\frac{\pi}{x}=0$$

   Тангенс равен нулю, когда его аргумент равен $$\pi n$$, где $$n\in \mathbb{Z}$$:

   $$\frac{\pi}{x}=\pi n$$

   $$\frac{1}{x}=n$$

   $$x=\frac{1}{n}, \quad n\in \mathbb{Z}\setminus\{0\}.$$

2. $$\ctg\frac{\pi}{\sqrt{x}}=1$$

   Котангенс равен 1, когда аргумент равен $$\frac{\pi}{4}+\pi n$$, где $$n\in \mathbb{Z}$$:

   $$\frac{\pi}{\sqrt{x}}=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

   $$\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{4}+n$$

   $$\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{4n+1}{4}$$

   $$\sqrt{x}=\frac{4}{4n+1}$$

   $$x=\frac{16}{(4n+1)^2}.$$

   Так как $$\sqrt{x}>0$$, то $$4n+1>0$$, значит $$n\in \mathbb{N}$$.

3. $$\tg(\pi\sin x)=\sqrt{3}$$

   Тогда

   $$\pi\sin x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   Отсюда

   $$\sin x=\frac{1}{3}+n.$$

   Так как $$-1\le \sin x\le 1$$, возможны только значения:

   $$\sin x=\frac{1}{3} \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac{2}{3}.$$

   Следовательно,

   $$x=(-1)^n\arcsin\frac{1}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

   или

   $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{2}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=\frac{1}{n},\ n\in \mathbb{Z}\setminus\{0\}$$; 2) $$x=\frac{16}{(4n+1)^2},\ n\in \mathbb{N}$$; 3) $$x=(-1)^n\arcsin\frac{1}{3}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$ или $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{2}{3}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$.