Упр.30.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) tg(x+?/4)=1; 2) ctg(4-3x)=2; 3) 3tg(3x+1)-v3=0.

1. $$\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1$$

   Так как $$\tg \frac{\pi}{4}=1,$$ то

   $$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Отсюда

   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. $$\ctg(4-3x)=2$$

   Преобразуем к тангенсу:

   $$\tg(4-3x)=\frac{1}{2}.$$

   Тогда

   $$4-3x=\arctg\frac{1}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Следовательно,

   $$3x=4-\arctg\frac{1}{2}+\pi n,$$

   $$x=\frac{4-\arctg\frac{1}{2}+\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. $$3\tg(3x+1)-\sqrt{3}=0$$

   $$\tg(3x+1)=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

   Так как $$\tg\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}},$$ то

   $$3x+1=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Тогда

   $$3x=\frac{\pi}{6}-1+\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{18}-\frac{1}{3}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ 2) $$x=\frac{4-\arctg\frac{1}{2}+\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z};$$ 3) $$x=\frac{\pi}{18}-\frac{1}{3}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z}.$$