Упр.30.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) tg(3x-?/12)=v3/3; 3) v3ctg(5x+?/3)+3=0;
2) tg(3-2x)=2; 4) ctg(?/4-x/3)=v3/3.

1. $$\tg\left(3x-\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   Так как $$\tg \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3},$$ то

   $$3x-\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   $$3x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{12}+\pi n=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. $$\tg(3-2x)=2$$

   $$3-2x=\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   $$2x=3-\arctg 2-\pi n,$$

   $$x=\frac{3-\arctg 2}{2}-\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Переобозначая индекс, получаем

   $$x=\frac{3-\arctg 2}{2}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. $$\sqrt{3}\ctg\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)+3=0$$

   $$\sqrt{3}\ctg\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=-3,$$

   $$\ctg\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}.$$

   Так как $$\ctg\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\sqrt{3},$$ то

   $$5x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   $$5x=-\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

   $$x=-\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. $$\ctg\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   Так как $$\ctg\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3},$$ то

   $$\frac{\pi}{4}-\frac{x}{3}=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   $$-\frac{x}{3}=\frac{\pi}{12}+\pi n,$$

   $$x=-\frac{\pi}{4}-3\pi n.$$

   Переобозначая индекс, получаем

   $$x=-\frac{\pi}{4}+3\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z};$$
2) $$x=\frac{3-\arctg 2}{2}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z};$$
3) $$x=-\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb{Z};$$
4) $$x=-\frac{\pi}{4}+3\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$