Упр.30.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\operatorname{tg}\left(\frac{3}{5}x\right)=0$$;
2. $$\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2}\right)=-\sqrt{3}$$;
3. $$\operatorname{ctg}\left(\frac{3}{2}x\right)=5$$.

1) $$\tg\frac{3x}{5}=0$$

Тангенс равен нулю, когда аргумент кратен $$\pi$$:

$$\frac{3x}{5}=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Тогда

$$x=\frac{5\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2) $$\ctg\frac{x}{2}=-\sqrt{3}$$

Значит,

$$\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Отсюда

$$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3) $$\ctg\frac{3x}{2}=5$$

Если $$\ctg \alpha=5$$, то

$$\alpha=\operatorname{arcctg}5+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$\frac{3x}{2}=\operatorname{arcctg}5+\pi n,$$

$$x=\frac{2}{3}\operatorname{arcctg}5+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: 1) $$x=\frac{5\pi n}{3}$$; 2) $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$; 3) $$x=\frac{2}{3}\operatorname{arcctg}5+\frac{2\pi n}{3}$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.