Упр.30.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\operatorname{tg}\left(-\frac{7x}{4}\right)=\sqrt{3}$$;
2. $$\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2}\right)=0$$;
3. $$\operatorname{ctg}(6x)=\frac{6}{11}$$.

1) $$\tg\left(-\frac{7x}{4}\right)=\sqrt{3}$$

Так как $$\tg(-\alpha)=-\tg\alpha,$$ то

$$\tg\left(\frac{7x}{4}\right)=-\sqrt{3}.$$

Тогда

$$\frac{7x}{4}=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Отсюда

$$7x=-\frac{4\pi}{3}+4\pi n,$$

$$x=-\frac{4\pi}{21}+\frac{4\pi n}{7},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2) $$\ctg\frac{x}{2}=0$$

Котангенс равен нулю, когда

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3) $$\ctg 6x=\frac{6}{11}$$

Тогда

$$6x=\operatorname{arcctg}\frac{6}{11}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Отсюда

$$x=\frac{1}{6}\operatorname{arcctg}\frac{6}{11}+\frac{\pi n}{6},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: 1) $$x=-\frac{4\pi}{21}+\frac{4\pi n}{7},\ n\in\mathbb{Z};$$ 2) $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ 3) $$x=\frac{1}{6}\operatorname{arcctg}\frac{6}{11}+\frac{\pi n}{6},\ n\in\mathbb{Z}.$$