Упр.30.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 30.12. При каких значениях параметра a уравнение (x-a)(tg(x)+1)=0 на промежутке [-?/2; 0) имеет единственный корень?

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$ (x-a)(\tg x+1)=0. $$

Оно равносильно системе двух уравнений:

$$ x-a=0 \quad \text{или} \quad \tg x+1=0. $$

1) Из первого уравнения получаем корень $$x=a$$. Чтобы он принадлежал промежутку $$\left[-\frac{\pi}{2};\,0\right),$$ нужно, чтобы

$$ a\in \left[-\frac{\pi}{2};\,0\right). $$

2) Из второго уравнения:

$$ \tg x=-1, \qquad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}. $$

На промежутке $$\left[-\frac{\pi}{2};\,0\right)$$ подходит только

$$ x=-\frac{\pi}{4}. $$

Значит, чтобы уравнение имело единственный корень на данном промежутке, нужно рассмотреть случаи:

если $$a\notin \left[-\frac{\pi}{2};\,0\right),$$ то корень даёт только уравнение $$\tg x+1=0,$$ и он единственный;
если $$a=-\frac{\pi}{4},$$ то оба множителя обращаются в нуль при одном и том же значении $$x=-\frac{\pi}{4},$$ поэтому корень тоже один;
если $$a\in \left[-\frac{\pi}{2};\,0\right)$$ и $$a\ne -\frac{\pi}{4},$$ то на промежутке есть два различных корня: $$x=a$$ и $$x=-\frac{\pi}{4}.$$

Следовательно, уравнение имеет единственный корень при

$$ a\notin \left[-\frac{\pi}{2};\,0\right)\quad \text{или} \quad a=-\frac{\pi}{4}. $$

Это можно записать так:

$$ a\in \left(-\infty;\,-\frac{\pi}{2}\right)\cup \left[0;\,+\infty\right)\cup \left\{-\frac{\pi}{4}\right\}. $$