Упр.30.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 30.11. При каких значениях параметра a уравнение (x+a)(tg(x)-v3)=0 на промежутке (0; ?/2] имеет единственный корень?

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$ (x+a)(\tg x-\sqrt{3})=0. $$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$ x+a=0 \quad \text{или} \quad \tg x-\sqrt{3}=0. $$

Из второго уравнения получаем

$$ \tg x=\sqrt{3}, \qquad x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}. $$

На промежутке $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right]$$ этому условию удовлетворяет только

$$ x=\frac{\pi}{3}. $$

Из первого уравнения имеем

$$ x=-a. $$

Чтобы уравнение имело единственный корень на данном промежутке, нужно, чтобы число $$-a$$ либо не принадлежало промежутку $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right]$$, либо совпадало с уже найденным корнем $$\frac{\pi}{3}$$.

1) Если $$-a\notin \left(0;\frac{\pi}{2}\right],$$ то

$$ a\le -\frac{\pi}{2} \quad \text{или} \quad a\ge 0. $$

2) Если $$-a=\frac{\pi}{3},$$ то

$$ a=-\frac{\pi}{3}. $$

Следовательно, уравнение имеет единственный корень при

$$ a\le -\frac{\pi}{2}, \quad a\ge 0 \quad \text{или} \quad a=-\frac{\pi}{3}. $$